Как находить неопределенные интегралы

Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям: Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;. В качестве второго примера выведем ещё рекуррентную формулу для интеграла, который нам понадобится в дальнейшем: Теперь, начиная с , можем найти и т.

Операция интегрирования этим свойством не обладает: Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций: Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева.

Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией.

Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов. В равенство подставляются различные значения x и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни Q m x ; если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов слева и справа от знака равенства.

Множество первообразных функции f x называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом. Как следует из изложенного выше, если F x - некоторая первообразная функции f x , то , где C - произвольная постоянная. Функцию f x принято называть подынтегральной функцией, произведение f x dx - подынтегральным выражением.

Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно: Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n , и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n , то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.

При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4.

Интегралы вида , как и в пункте Интегралы вида подстановкой сводятся к интегралам, рассмотренным в разделе Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, то есть интегралов вида. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей: Если дробь неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей. Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:.

В результате для искомого интеграла мы получили уравнение , решая которое, получаем константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной и константа переобозначена через С. Сведение интеграла к самому себе — самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и.

При нахождении таких интегралов для понижения степеней иногда целесообразно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: Интегрирование степеней tg x и ctg x попадает под пункт Интегрирование произведения чётных степеней sin x , cos x. При вычислении интегралов следует понизить степень тригонометрических функций переходом к косинусу двойного угла: Угол удваивается до тех пор, пока одна из степеней не станет нечётной, после этого можно воспользоваться приёмами Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных дуг.

Выполняется интегрирование простых дробей. Дробь неправильна, поэтому выделяем целую часть: Правильную дробь представляем в виде. Приводим сумму слева к общему знаменателю: Если сравнивать коэффициенты при степенях , получим систему , то есть тот же результат. Приводим к общему знаменателю: Здесь мы воспользовались значением для I 2 , полученным в Представление подынтегральной функции в виде суммы простых дробей: Коэффициент при x 2: Интегрирование функций, рационально зависящих от.

Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: Следовательно, функция F t x является первообразной для произведения , или. При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f t x , и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз: Второй интеграл элементарно сводится к первому: Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Интегралы вида приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене: Теперь относительно переменной интеграл свёлся к , где ,. Первый интеграл , второй - один из табличных интегралов 14, Интегралы вида с помощью той же операции выделение полного квадрата приводятся к одному из табличных интегралов 18,19 в зависимости от знака.

Свойства неопределённого интеграла , непосредственно следующие из определения:. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция.

При нахождении интегралов вида , , с помощью школьных тригонометрических формул , , задача сводится к интегрированию линейной комбинации тех же функций с другими аргументами. Ответ можно записать поизящнее. По школьным формулам , поэтому.

Примеры применения правил 1,2: Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: Замена переменной в неопределённом интеграле интегрирование подстановкой. Здесь t x - дифференцируемая монотонная функция. Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции.